Factorización de diferencia de cuadrados.

Para factorizar una diferencia de cuadrados es necesario saber identificarlos, esta ecuación solo tiene dos términos, es decir, es un binomio. Ambos términos tienen raíces cuadradas exactas. En cuanto a los signos  un término es positivo y el otro es negativo, o explicado de otra forma la operación que se realiza es una resta.

De estas características viene su nombre diferencia de cuadrados, diferencia hace alusión a una resta y cuadrados indica que los términos están elevados al cuadrado. Ejemplos de cómo reconocer una diferencia de cuadrados:

1)    x² + y²

2)    x² – y²

3)    4x^{2 –} b²

4)    7a^{2 –} c²

5)   

6)   

7)   

8)    4x^{4 –} b⁸

9)    5x^{4 –} b⁸

10)  9x^{4 –} 121b⁸

11)  25x^{7 –} 121b⁸

De los ejemplos anteriores solo los  incisos 2), 3), 5), 6), 8) y 10) son diferencia de cuadrados y se pueden factorizar. El resto no lo son. La número 1) es una suma de cuadrados, el numero 4) pareciera ser una diferencia de cuadrados pero el 7 no tiene raíz cuadrada exacta. El numero 7) no cumple porque 2/4 no tiene raíz cuadrada exacta. El número 9), el 5 no tiene raíz cuadrada exacta. El numero 11) no cumple porque 25x⁷ no tiene raíz cuadrada exacta.

Ahora que ya sabemos identificar las diferencias de cuadrados vamos a factorizar. Para factorizar una diferencia de cuadrados se hace de la siguiente forma, tomando los incisos anteriores:

x² – y² = (x+y) (x-y)              es la raíz del primer término, la raíz del segundo término, uno signo positivo y otro signo negativo. Vamos a comprobar la factorización anterior.

(x+y) (x-y) = x² –xy + xy – y²

 x² –xy + xy – y² = x² – y²

Más ejemplos:

1)    4x^{2 –} b²      Sol. (2x + b) (2x – b)

Comprobación: (2x + b) (2x – b) = 4x² + 2bx – 2bx - b² = 4x^{2 –} b²

2)       Sol. 

Comprobación:  =  =   

NOTA: para sacar la raíz de una fracción se saca la rais tanto del denominador como del numerador. Las multiplicaciones con fracciones son directas. Ejemplos

 =                                          =

3)          Sol.

Comprobación:  =  =